Найдите корень уравнения: а) \( \frac{3}{7}x + 5\frac{1}{2}x - 7\frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{4}x + 5\frac{1}{4}x \)

Решение:

Переведем все смешанные числа в неправильные дроби:

\( 5\frac{1}{2} = \frac{11}{2} \)
\( 7\frac{3}{4} = \frac{31}{4} \)
\( 5\frac{1}{4} = \frac{21}{4} \)

Подставим в уравнение:

\( \frac{3}{7}x + \frac{11}{2}x - \frac{31}{4} = 1 - \frac{1}{4}x + \frac{21}{4}x \)

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7, 2, 4 равен 28.

Умножим обе части уравнения на 28, чтобы избавиться от знаменателей:

\( 28 \cdot \frac{3}{7}x + 28 \cdot \frac{11}{2}x - 28 \cdot \frac{31}{4} = 28 \cdot 1 - 28 \cdot \frac{1}{4}x + 28 \cdot \frac{21}{4}x \)

\( 4 \cdot 3x + 14 \cdot 11x - 7 \cdot 31 = 28 - 7 \cdot 1x + 7 \cdot 21x \)
\( 12x + 154x - 217 = 28 - 7x + 147x \)

Приведем подобные члены в каждой части уравнения:

\( 166x - 217 = 28 + 140x \)

Перенесем переменные в левую часть, а числа в правую:

\( 166x - 140x = 28 + 217 \)
\( 26x = 245 \)
\( x = \frac{245}{26} \)

\( x = 9\frac{11}{26} \)

Ответ: \( x = 9\frac{11}{26} \).