3. Найдите корень уравнения \(\sqrt{54 + 3x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: \((\sqrt{54 + 3x})^2 = x^2\) \(54 + 3x = x^2\) \(x^2 - 3x - 54 = 0\) Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-54) = 9 + 216 = 225\) \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{225}}{2*1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{225}}{2*1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6\) Проверим корни: При \(x = 9\): \(\sqrt{54 + 3 * 9} = \sqrt{54 + 27} = \sqrt{81} = 9\) - подходит. При \(x = -6\): \(\sqrt{54 + 3 * (-6)} = \sqrt{54 - 18} = \sqrt{36} = 6 ≠ -6\) - не подходит. Меньший корень, если бы оба подходили, нужно было бы указать. Но так как подходит только один, то он и является ответом. Ответ: 9