Найдите корни уравнения \(\frac{x^3 - 2x^2 - 9x + 18}{x^2 - 4} = 0\).

Решение:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем корни числителя:
2. \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0 \]
3. Сгруппируем слагаемые:
4. \[ (x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0 \]
5. Вынесем общие множители из каждой группы:
6. \[ x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0 \]
7. Вынесем общий множитель (x - 2):
8. \[ (x - 2)(x^2 - 9) = 0 \]
9. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
10. \[ x - 2 = 0 \]или\[ x^2 - 9 = 0 \]
11. Решаем первое уравнение:
12. \[ x = 2 \]
13. Решаем второе уравнение:
14. \[ x^2 = 9 \]
15. \[ x = \pm 3 \]
16. Таким образом, корни числителя: 2, 3, -3.
17. Проверим знаменатель:
18. \[ x^2 - 4 ≠ 0 \]
19. \[ x^2 ≠ 4 \]
20. \[ x ≠ \pm 2 \]
21. Значит, значение x = 2 не подходит, так как при нем знаменатель обращается в ноль.
22. Конями уравнения являются 3 и -3.

Ответ: 3, -3