Решите уравнение методом введения новой переменной: (x² - 2x)(x² - 2x - 7) = 8.

Решение уравнения методом введения новой переменной

Чтобы решить это уравнение, заметим, что выражение (x² - 2x) повторяется.

Шаг 1: Вводим новую переменную

Пусть y = x² - 2x. Тогда исходное уравнение примет вид:

y(y - 7) = 8

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение относительно 'y'

Раскроем скобки:

y² - 7y = 8

Перенесем все в левую часть:

y² - 7y - 8 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81
• √D = 9
• y₁ = (-b + √D) / 2a = (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8
• y₂ = (-b - √D) / 2a = (7 - 9) / 2 = -2 / 2 = -1

Шаг 3: Возвращаемся к исходной переменной 'x'

Теперь подставим найденные значения 'y' обратно в замену y = x² - 2x:

1. x² - 2x = 8

x² - 2x - 8 = 0

Решаем это квадратное уравнение:

• D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36
• √D = 6
• x₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4
• x₂ = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2
2. x² - 2x = -1

x² - 2x + 1 = 0

Это полный квадрат:

(x - 1)² = 0

x - 1 = 0

x₃ = 1

Ответ: x = 4, x = -2, x = 1