Найдите корни уравнений: a) \(\frac{x^2}{x+3} = \frac{1}{4}\) б) \(\frac{x^2 - 10}{x+2} = \frac{3x}{x+2}\)

Решение: a) \(\frac{x^2}{x+3} = \frac{1}{4}\) Умножим обе части уравнения на 4(x+3), чтобы избавиться от знаменателей: \(4x^2 = x + 3\) \(4x^2 - x - 3 = 0\) Решаем квадратное уравнение: \(D = (-1)^2 - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49\) \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 * 4} = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1\) \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 * 4} = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\) Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях: При \(x = 1\): \(x + 3 = 1 + 3 = 4
eq 0\) При \(x = -\frac{3}{4}\): \(x + 3 = -\frac{3}{4} + 3 = \frac{9}{4}
eq 0\) Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = -\frac{3}{4}\) б) \(\frac{x^2 - 10}{x+2} = \frac{3x}{x+2}\) Так как знаменатели одинаковы, можно приравнять числители: \(x^2 - 10 = 3x\) \(x^2 - 3x - 10 = 0\) Решаем квадратное уравнение: \(D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49\) \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\) \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях: При \(x = 5\): \(x + 2 = 5 + 2 = 7
eq 0\) При \(x = -2\): \(x + 2 = -2 + 2 = 0\), значит, \(x = -2\) не является решением. Ответ: \(x = 5\)