582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по обратной теореме Виета: a) x² - 15x - 16 = 0; б) x²-6x-11 = 0; в) 12x2 - 4x - 1 = 0; г) х²- 6 = 0; д) 5х2-18х= 0; e) 2x² - 41 = 0.

Решение:

a) $$x^2 - 15x - 16 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 15$$

$$x_1 \cdot x_2 = -16$$

Корни: $$x_1 = 16, x_2 = -1$$

Проверка:

$$16 + (-1) = 15$$

$$16 \cdot (-1) = -16$$

б) $$x^2 - 6x - 11 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 6$$

$$x_1 \cdot x_2 = -11$$

Корни: $$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (-11)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$$

Проверка:

$$(3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6$$

$$(3 + 2\sqrt{5}) \cdot (3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 4 \cdot 5 = -11$$

в) $$12x^2 - 4x - 1 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{12}$$

Корни: $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 12 \cdot (-1)}}{24} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{24} = \frac{4 \pm 8}{24}$$

$$x_1 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$$

Проверка:

$$\frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$$

г) $$x^2 - 6 = 0$$

$$x^2 = 6$$

$$x_{1,2} = \pm \sqrt{6}$$

Проверка:

$$\sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$$

$$\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$$

д) $$5x^2 - 18x = 0$$

$$x(5x - 18) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = \frac{18}{5}$$

Проверка:

$$0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5}$$

$$0 \cdot \frac{18}{5} = 0$$

е) $$2x^2 - 41 = 0$$

$$2x^2 = 41$$

$$x^2 = \frac{41}{2}$$

$$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{41}{2}} = \pm \frac{\sqrt{82}}{2}$$

Проверка:

$$\frac{\sqrt{82}}{2} + (-\frac{\sqrt{82}}{2}) = 0$$

$$\frac{\sqrt{82}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{82}}{2}) = -\frac{82}{4} = -\frac{41}{2}$$

Ответ: a) $$x_1 = 16, x_2 = -1$$; б) $$x_{1,2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$$; в) $$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{6}$$; г) $$x_{1,2} = \pm \sqrt{6}$$; д) $$x_1 = 0, x_2 = \frac{18}{5}$$; е) $$x_{1,2} = \pm \frac{\sqrt{82}}{2}$$