2. Найдите корни уравнения: a) 115-13x = 1/121; б) 5x-2 + 3⋅5x-1 = 80; в) 32x+1 − 8⋅3x = 3.

a) Решим уравнение: \(11^{5-13x} = \frac{1}{121}\)

Шаг 1: Преобразуем правую часть уравнения:

\[\frac{1}{121} = \frac{1}{11^2} = 11^{-2}\]

Шаг 2: Запишем уравнение в виде:

\[11^{5-13x} = 11^{-2}\]

Шаг 3: Приравняем показатели степени:

\[5 - 13x = -2\]

Шаг 4: Решим уравнение относительно \(x\):

\[13x = 5 + 2\]

\[13x = 7\]

\[x = \frac{7}{13}\]

б) Решим уравнение: \(5^{x-2} + 3 \cdot 5^{x-1} = 80\)

Шаг 1: Вынесем общий множитель \(5^{x-2}\):

\[5^{x-2}(1 + 3 \cdot 5) = 80\]

Шаг 2: Упростим выражение в скобках:

\[5^{x-2}(1 + 15) = 80\]

\[5^{x-2} \cdot 16 = 80\]

Шаг 3: Разделим обе части уравнения на 16:

\[5^{x-2} = \frac{80}{16}\]

\[5^{x-2} = 5\]

Шаг 4: Приравняем показатели степени:

\[x - 2 = 1\]

Шаг 5: Решим уравнение относительно \(x\):

\[x = 1 + 2\]

\[x = 3\]

в) Решим уравнение: \(3^{2x+1} - 8 \cdot 3^x = 3\)

Шаг 1: Преобразуем первое слагаемое:

\[3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2\]

Шаг 2: Запишем уравнение в виде:

\[3 \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 3 = 0\]

Шаг 3: Сделаем замену \(y = 3^x\):

\[3y^2 - 8y - 3 = 0\]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение относительно \(y\):

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\]

\[y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3\]

\[y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

Шаг 5: Вернемся к замене:

\[3^x = 3 \Rightarrow x = 1\]

\[3^x = -\frac{1}{3}\] - нет решений