3. Найдите решения неравенства: a) (7/8)3-5x ≤ 64/49; б) 52x2+3x+2,5 ≤ 25√5; в) (1/5)2x − 26⋅(1/5)x+1 +1 ≥ 0.

a) Решим неравенство: \((\frac{7}{8})^{3-5x} \leq \frac{64}{49}\)

Шаг 1: Преобразуем правую часть неравенства:

\[\frac{64}{49} = (\frac{8}{7})^2 = (\frac{7}{8})^{-2}\]

Шаг 2: Запишем неравенство в виде:

\[(\frac{7}{8})^{3-5x} \leq (\frac{7}{8})^{-2}\]

Шаг 3: Поскольку основание \(\frac{7}{8} < 1\), знак неравенства меняется:

\[3 - 5x \geq -2\]

Шаг 4: Решим неравенство относительно \(x\):

\[5x \leq 3 + 2\]

\[5x \leq 5\]

\[x \geq 1\]

б) Решим неравенство: \(5^{2x^2+3x+2.5} \leq 25\sqrt{5}\)

Шаг 1: Преобразуем правую часть неравенства:

\[25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}\]

Шаг 2: Запишем неравенство в виде:

\[5^{2x^2+3x+2.5} \leq 5^{\frac{5}{2}}\]

Шаг 3: Приравняем показатели степени:

\[2x^2 + 3x + 2.5 \leq \frac{5}{2}\]

Шаг 4: Преобразуем неравенство:

\[2x^2 + 3x + 2.5 - 2.5 \leq 0\]

\[2x^2 + 3x \leq 0\]

Шаг 5: Решим квадратное неравенство:

\[x(2x + 3) \leq 0\]

\[x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{3}{2}\]

Шаг 6: Определим интервалы:

\[x \in [-\frac{3}{2}, 0]\]

в) Решим неравенство: \((\frac{1}{5})^{2x} - 26 \cdot (\frac{1}{5})^{x+1} + 1 \geq 0\)

Шаг 1: Преобразуем неравенство:

\[((\frac{1}{5})^x)^2 - 26 \cdot (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5}) + 1 \geq 0\]

Шаг 2: Сделаем замену \(y = (\frac{1}{5})^x\):

\[y^2 - \frac{26}{5}y + 1 \geq 0\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

\[5y^2 - 26y + 5 = 0\]

\[D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576\]

\[y_1 = \frac{26 + \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5\]

\[y_2 = \frac{26 - \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\]

Шаг 4: Определим интервалы:

\[y \in (-\infty, \frac{1}{5}] \cup [5, +\infty)\]

Шаг 5: Вернемся к замене:

\[(\frac{1}{5})^x \leq \frac{1}{5} \Rightarrow x \geq 1\]

\[(\frac{1}{5})^x \geq 5 \Rightarrow x \leq -1\]

Шаг 6: Запишем решение:

\[x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\]