3. Найдите косинус угла C треугольника КСМ, если K (3; 9), C (0; 6), M (4; 2).

Даны вершины треугольника K(3; 9), C(0; 6), M(4; 2). Найдем косинус угла C.

Косинус угла C можно найти, используя теорему косинусов:

$$ KM^2 = KC^2 + CM^2 - 2 cdot KC cdot CM cdot cos C $$

Отсюда

$$ cos C = \frac{KC^2 + CM^2 - KM^2}{2 cdot KC cdot CM} $$

Найдем длины сторон:

$$ KC = \sqrt{(3-0)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$ $$ CM = \sqrt{(0-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$ $$ KM = \sqrt{(3-4)^2 + (9-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$

Тогда

$$ cos C = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 cdot 3\sqrt{2} cdot 4\sqrt{2}} = \frac{18 + 32 - 50}{2 cdot 3 cdot 4 cdot 2} = \frac{0}{48} = 0 $$

Ответ: 0