2. Найдите стороны и углы треугольника АВС, если ∠B = 45°, ∠C = 60°, BC = √3 см.

В треугольнике ABC известны ∠B = 45°, ∠C = 60° и сторона BC = √3 см. Требуется найти стороны и угол A.

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 45° - 60° = 75°.

По теореме синусов:

$$ rac{BC}{sin A} = rac{AC}{sin B} = rac{AB}{sin C} $$

Найдем AC:

$$ AC = rac{BC cdot sin B}{sin A} = rac{sqrt{3} cdot sin 45^circ}{sin 75^circ} = rac{sqrt{3} cdot rac{sqrt{2}}{2}}{rac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}} = rac{sqrt{6}}{2} cdot rac{4}{sqrt{6} + sqrt{2}} = rac{2sqrt{6}}{sqrt{6} + sqrt{2}} = rac{2sqrt{6} (sqrt{6} - sqrt{2})}{(sqrt{6} + sqrt{2})(sqrt{6} - sqrt{2})} = rac{2(6 - sqrt{12})}{6 - 2} = rac{2(6 - 2sqrt{3})}{4} = rac{6 - 2sqrt{3}}{2} = 3 - sqrt{3} $$

Итак, $$AC = 3 - sqrt{3}$$ см.

Найдем AB:

$$ AB = rac{BC cdot sin C}{sin A} = rac{sqrt{3} cdot sin 60^circ}{sin 75^circ} = rac{sqrt{3} cdot rac{sqrt{3}}{2}}{rac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}} = rac{3}{2} cdot rac{4}{sqrt{6} + sqrt{2}} = rac{6}{sqrt{6} + sqrt{2}} = rac{6(sqrt{6} - sqrt{2})}{(sqrt{6} + sqrt{2})(sqrt{6} - sqrt{2})} = rac{6(sqrt{6} - sqrt{2})}{6 - 2} = rac{6(sqrt{6} - sqrt{2})}{4} = rac{3(sqrt{6} - sqrt{2})}{2} $$

Итак, $$AB = rac{3(sqrt{6} - sqrt{2})}{2}$$ см.

Ответ: ∠A = 75°, $$AC = 3 - sqrt{3}$$ см, $$AB = rac{3(sqrt{6} - sqrt{2})}{2}$$ см.