Найдите косинусы углов треугольника с вершинами M(2; 4), N(3; 1), K(-1; 2)

Для нахождения косинусов углов треугольника, нам сначала необходимо найти векторы, соответствующие сторонам треугольника. Это будут векторы MN, MK и NK. \( \vec{MN} = N - M = (3 - 2, 1 - 4) = (1, -3) \) \( \vec{MK} = K - M = (-1 - 2, 2 - 4) = (-3, -2) \) \( \vec{NK} = K - N = (-1 - 3, 2 - 1) = (-4, 1) \) Теперь найдем косинусы углов, используя скалярное произведение векторов и их длины: Косинус угла M: \( cos(M) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{MK}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{MK}|} = \frac{(1)(-3) + (-3)(-2)}{\sqrt{1^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2}} = \frac{-3 + 6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{130}} \) Косинус угла N: \( cos(N) = \frac{\vec{NM} \cdot \vec{NK}}{|\vec{NM}| \cdot |\vec{NK}|} = \frac{(-1)(-4) + (3)(1)}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + 1^2}} = \frac{4 + 3}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{170}} \) Косинус угла K: \( cos(K) = \frac{\vec{KM} \cdot \vec{KN}}{|\vec{KM}| \cdot |\vec{KN}|} = \frac{(3)(4) + (2)(-1)}{\sqrt{3^2 + 2^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{12 - 2}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{10}{\sqrt{221}} \) Итак: Косинус угла M: \(\frac{3}{\sqrt{130}}\) Косинус угла N: \(\frac{7}{\sqrt{170}}\) Косинус угла K: \(\frac{10}{\sqrt{221}}\)