17. Найдите котангенс большего угла ромба, если его диагонали равны 32 и 24. 1) $$-\frac{7}{24}$$ 2) $$-\frac{5}{21}$$ 3) $$-\frac{9}{28}$$ 4) $$-\frac{3}{7}$$ 5) $$-\frac{7}{16}$$ В ответ запишите номер правильного варианта.

Пусть ромб ABCD, диагонали AC = 32 и BD = 24. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда AO = AC/2 = 16 и BO = BD/2 = 12. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. \(tg(\angle BAO) = \frac{BO}{AO} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\). Пусть острый угол ромба равен $$\alpha$$, а тупой угол равен $$\beta$$. Тогда $$\alpha = 2 \cdot \angle BAO$$, и $$\beta = 180^{\circ} - \alpha$$. Тогда $$tg(\alpha/2) = 3/4$$. Используем формулу для тангенса двойного угла: \[tg(\alpha) = \frac{2tg(\alpha/2)}{1 - tg^2(\alpha/2)} = \frac{2 \cdot (3/4)}{1 - (3/4)^2} = \frac{3/2}{1 - 9/16} = \frac{3/2}{7/16} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{24}{7}\] Так как $$\beta$$ - тупой угол, то $$ctg(\beta) < 0$$. Зная, что $$\beta = 180^{\circ} - \alpha$$, то $$ctg(\beta) = ctg(180^{\circ} - \alpha) = -ctg(\alpha)$$. Найдем $$ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} = \frac{1}{\frac{24}{7}} = \frac{7}{24}$$. Следовательно, $$ctg(\beta) = -\frac{7}{24}$$. Ответ: 1