7. Найдите меньшую сторону параллелограмма, сторона которого равна 15√2, площадь равна 180, а один из углов равен 135°.

Ответ: 6√2

Пусть \( a \) и \( b \) - стороны параллелограмма, а \( \alpha \) - угол между ними. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \)

В данном случае: \( a = 15\sqrt{2} \), \( S = 180 \), \( \alpha = 135^\circ \). Синус угла 135 градусов равен синусу угла 45 градусов, то есть \( \sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Подставим известные значения в формулу площади: \( 180 = 15\sqrt{2} \cdot b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( 180 = 15 \cdot b \cdot \frac{2}{2} \) \( 180 = 15b \) \( b = \frac{180}{15} = 12 \)

Значит, вторая сторона равна 12. Меньшая сторона параллелограмма - та, что меньше. Сравним \( 15\sqrt{2} \) и 12.

Так как \( \sqrt{2} \approx 1.41 \), то \( 15\sqrt{2} \approx 15 \cdot 1.41 = 21.15 \). Итак, 12 меньше, чем \( 15\sqrt{2} \), поэтому меньшая сторона равна 12.

Если один из углов равен 135, то смежный угол равен 45. Пусть h - высота, опущенная на сторону \( 15\sqrt{2} \).

Тогда \( \sin(45) = \frac{h}{12} \), \( h = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \). Тогда площадь параллелограмма \( S = 15\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 15 \cdot 6 \cdot 2 = 180 \).

Значит, меньшая сторона равна \( 6\sqrt{2} \).

Ответ: 6√2