12. Найдите наибольшее значение функции (y = 4x + \pi + 2 - 4\operatorname{tg} x) на отрезке ([-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]).

Для нахождения наибольшего значения функции (y = 4x + \pi + 2 - 4\operatorname{tg} x) на отрезке ([-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]), нужно исследовать функцию на этом отрезке, найти её производную и определить критические точки, а затем вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка. 1. **Нахождение производной:** (y' = \frac{d}{dx}(4x + \pi + 2 - 4\operatorname{tg} x) = 4 - \frac{4}{\cos^2 x}) 2. **Определение критических точек:** Для нахождения критических точек, приравняем производную к нулю: (4 - \frac{4}{\cos^2 x} = 0) \(\frac{4}{\cos^2 x} = 4) \(\cos^2 x = 1) \(\cos x = \pm 1) (x = k\pi), где (k) - целое число. 3. **Проверка критических точек на принадлежность отрезку:** На отрезке ([-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]) только точка (x = 0) удовлетворяет условию (x = k\pi). 4. **Вычисление значений функции в критической точке и на концах отрезка:** - (y(0) = 4(0) + \pi + 2 - 4\operatorname{tg}(0) = \pi + 2) - (y(-\frac{\pi}{4}) = 4(-\frac{\pi}{4}) + \pi + 2 - 4\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\pi + \pi + 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6) - (y(\frac{\pi}{4}) = 4(\frac{\pi}{4}) + \pi + 2 - 4\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = \pi + \pi + 2 - 4(1) = 2\pi + 2 - 4 = 2\pi - 2) 5. **Сравнение значений функции:** - (y(0) = \pi + 2 \approx 3.14 + 2 = 5.14) - (y(-\frac{\pi}{4}) = 6) - (y(\frac{\pi}{4}) = 2\pi - 2 \approx 2(3.14) - 2 = 6.28 - 2 = 4.28) Наибольшее значение функции на отрезке ([-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]) равно 6. **Ответ: 6**