12. Найдите наибольшее значение функции $$y = 4x + \pi + 2 - 4\operatorname{tg}x$$ на отрезке $$[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$$.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Нахождение производной функции**. Для начала найдем производную функции $$y(x) = 4x + \pi + 2 - 4\operatorname{tg}x$$: $$y'(x) = 4 - \frac{4}{\cos^2 x} = 4(1 - \frac{1}{\cos^2 x})$$. 2. **Нахождение критических точек**. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$4(1 - \frac{1}{\cos^2 x}) = 0$$ $$1 - \frac{1}{\cos^2 x} = 0$$ $$\frac{1}{\cos^2 x} = 1$$ $$\cos^2 x = 1$$ $$\cos x = \pm 1$$ $$x = \pi n$$, где $$n$$ - целое число. 3. **Проверка критических точек на принадлежность отрезку**. Нам дан отрезок $$[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$$. Единственная критическая точка, попадающая в этот отрезок, это $$x = 0$$ (при $$n = 0$$). 4. **Вычисление значений функции на концах отрезка и в критической точке**. Теперь нам нужно вычислить значения функции в точках $$x = -\frac{\pi}{4}$$, $$x = 0$$ и $$x = \frac{\pi}{4}$$: * $$y(-\frac{\pi}{4}) = 4(-\frac{\pi}{4}) + \pi + 2 - 4\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\pi + \pi + 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6$$. * $$y(0) = 4(0) + \pi + 2 - 4\operatorname{tg}(0) = \pi + 2 - 4(0) = \pi + 2 \approx 3.14 + 2 = 5.14$$. * $$y(\frac{\pi}{4}) = 4(\frac{\pi}{4}) + \pi + 2 - 4\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = \pi + \pi + 2 - 4(1) = 2\pi + 2 - 4 = 2\pi - 2 \approx 2(3.14) - 2 = 6.28 - 2 = 4.28$$. 5. **Выбор наибольшего значения**. Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции равно 6. **Ответ: Наибольшее значение функции на данном отрезке равно 6.**