12. Найдите наибольшее значение функции $$y = 15x - 3\sin x + 5$$ на отрезке $$[-\frac{\pi}{2}; 0]$$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, принадлежащие отрезку, и вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка. Затем выбрать наибольшее значение. $$y' = 15 - 3\cos x$$ Приравняем производную к нулю: $$15 - 3\cos x = 0$$ $$3\cos x = 15$$ $$\cos x = 5$$ Так как $$-1 \leq \cos x \leq 1$$, то уравнение $$\cos x = 5$$ не имеет решений. Значит, критических точек нет. Вычислим значение функции на концах отрезка $$[-\frac{\pi}{2}; 0]$$: $$y(-\frac{\pi}{2}) = 15(-\frac{\pi}{2}) - 3\sin(-\frac{\pi}{2}) + 5 = -\frac{15\pi}{2} - 3(-1) + 5 = -\frac{15\pi}{2} + 3 + 5 = 8 - \frac{15\pi}{2} \approx 8 - 23.56 = -15.56$$ $$y(0) = 15 \cdot 0 - 3\sin 0 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5$$ Наибольшее значение функции на отрезке $$[-\frac{\pi}{2}; 0]$$ равно 5. Ответ: 5