Найдите наименьшее значение функции у = (х – 8) e^(x-7) на отрезке [6; 8].

Пошаговое решение:

Найдем производную функции:

\[y' = (x - 8)'e^{x-7} + (x - 8)(e^{x-7})'\]\[y' = e^{x-7} + (x - 8)e^{x-7}\]\[y' = e^{x-7}(1 + x - 8)\]\[y' = e^{x-7}(x - 7)\]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[e^{x-7}(x - 7) = 0\]

Так как e^(x-7) > 0 для любого x, то:

\[x - 7 = 0\]\[x = 7\]

Критическая точка x = 7 принадлежит отрезку [6; 8].

Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке:

\[y(6) = (6 - 8)e^{6-7} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}\]\[y(7) = (7 - 8)e^{7-7} = -1e^{0} = -1\]\[y(8) = (8 - 8)e^{8-7} = 0e^{1} = 0\]

Сравним значения: -2/e ≈ -0.736, -1 и 0. Наименьшее значение -1.

Ответ: -1