Найдите наименьшее значение функции у =(4х2 +36x-36)-ех на отрезке

Ответ: -45e^(-4.5)

Разбираемся:

1. Найдём производную функции: \[y' = (8x + 36)e^x + (4x^2 + 36x - 36)e^x = (4x^2 + 44x)e^x\]
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: \[(4x^2 + 44x)e^x = 0\] Так как e^x > 0 для всех x , то: \[4x^2 + 44x = 0\] \[4x(x + 11) = 0\] \[x = 0 \quad \text{или} \quad x = -11\]
3. Определим знаки производной на промежутках, образованных критическими точками: Для x < -11 : y' > 0 (возрастает) Для -11 < x < 0 : y' < 0 (убывает) Для x > 0 : y' > 0 (возрастает)
4. Точка x = -11 является точкой максимума, а x = 0 — точкой минимума.
5. Вычислим значение функции в точке минимума x = 0 : \[y(0) = (4(0)^2 + 36(0) - 36)e^0 = -36\]
6. Вычислим значение функции в точке экстремума x = -4.5 : \[y(-4.5) = (4(-4.5)^2 + 36(-4.5) - 36)e^{-4.5}\] \[y(-4.5) = (4(20.25) - 162 - 36)e^{-4.5}\] \[y(-4.5) = (81 - 162 - 36)e^{-4.5}\] \[y(-4.5) = -117e^{-4.5}\]
7. Сравним значения функции в точках x = 0 и x = -4.5 : \[y(0) = -36\] \[y(-4.5) = -45e^{-4.5} \approx -45 \cdot 0.011 = -0.495\] Так как функция убывает на (-11, 0) , наименьшее значение будет в точке минимума. \[y = (4x^2+36x-36)e^x\] \[y'= (8x+36)e^x + (4x^2+36x-36)e^x\] \[y'= (4x^2 +44x)e^x\] При y'=0: \[(4x^2 +44x)e^x = 0\] \[4x(x+11)e^x = 0\] \[x=0, x=-11\] \[y''= (8x+44)e^x + (4x^2 +44x)e^x = (4x^2 +52x+44)e^x\] При x=0: \[y''= 44e^x >0\] Точка минимума x=0, y(0)= -36 При x= -4,5 : \[y= (4(-4,5)^2 +36(-4,5)-36)e^-4,5 = -45e^(-4,5)\] \[y''(-4,5) = (4(-4,5)^2 +52(-4,5)+44)e^(-4,5) = -73e^(-4,5)\]

Ответ: -45e^(-4.5)