Найдите натуральные числа a, b, c, такие что a² + b − c = 100 и b² + a − c = 128.

Вычтем первое уравнение из второго:

(b² + a − c) − (a² + b − c) = 128 − 100,

(b − a)(a + b − 1) = 28.

Так как правая часть положительна, b > a. Обозначим d = b − a. Тогда d — положительный делитель 28, а a + b − 1 = 28/d. Числа a + b и b − a имеют одинаковую чётность.

Проверим положительные делители 28: при d = 1 получаем a + b = 29, откуда a = 14 и b = 15. При d = 2 или 4 значения a + b равны соответственно 15 и 8, что не имеет той же чётности, что d. При d = 7, 14 или 28 значение a + b меньше d, что невозможно при a ≥ 0.

Подставим найденные a и b в первое уравнение: c = a² + b − 100 = 14² + 15 − 100 = 111. Проверка второго уравнения: 15² + 14 − 111 = 128.

Ответ: a = 14, b = 15, c = 111.