5 Найдите область определения функции у = √(x-5/15- 2x - x².

$$y = \sqrt{\frac{x - 5}{15 - 2x - x^2}}$$. Область определения функции - это множество значений x, при которых функция определена.

Для того, чтобы функция была определена, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

• Подкоренное выражение было неотрицательным: $$\frac{x - 5}{15 - 2x - x^2} \ge 0$$
• Знаменатель был не равен нулю: $$15 - 2x - x^2
  e 0$$

Решим первое неравенство:

$$\frac{x - 5}{15 - 2x - x^2} \ge 0$$

• $$15 - 2x - x^2 = -(x^2 + 2x - 15) = -(x + 5)(x - 3)$$
• Тогда $$\frac{x - 5}{-(x + 5)(x - 3)} \ge 0$$
• $$\frac{x - 5}{(x + 5)(x - 3)} \le 0$$

Решим методом интервалов.

• Корни: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -5$$, $$x_3 = 3$$
• Интервалы: $$(-\infty; -5)$$, $$(-5; 3)$$, $$(3; 5)$$, $$(5; +\infty)$$
• Определим знаки на интервалах:
  • $$(-\infty; -5)$$: $$\frac{-}{- \cdot -} = -$$
  • $$(-5; 3)$$: $$\frac{-}{+ \cdot -} = +$$
  • $$(3; 5)$$: $$\frac{-}{+ \cdot +} = -$$
  • $$(5; +\infty)$$: $$\frac{+}{+ \cdot +} = +$$
• Решением неравенства будут интервалы: $$(-\infty; -5) \cup (3; 5]$$

Решим второе уравнение:

$$15 - 2x - x^2 = 0$$

• $$-(x + 5)(x - 3) = 0$$
• Корни: $$x_1 = -5$$, $$x_2 = 3$$

Учитывая оба условия, область определения функции будет: $$(-\infty; -5) \cup (3; 5]$$

Ответ: $$(-\infty; -5) \cup (3; 5]$$