117. Найдите область определения функции: 1) y = √x² + 3x – 40; 2) y = x+2 / √3x-12x² ; 3) y = √x²-4x-21 - 6 / x²-64 ; 4) y = x-8 / √5+19x-4x² + x-4 / 3x²-x-4 .

Найдем область определения каждой функции.

1. $$y = \sqrt{x^2 + 3x - 40}$$
   Область определения: $$x^2 + 3x - 40 \ge 0$$
   Найдем корни уравнения $$x^2 + 3x - 40 = 0$$
   $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$
   $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
   $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$
   Неравенство можно переписать в виде $$(x - 5)(x + 8) \ge 0$$
   Решением будет множество $$x \le -8 \cup x \ge 5$$.
2. $$y = \frac{x + 2}{\sqrt{3x - 12x^2}}$$
   Область определения: $$3x - 12x^2 > 0$$
   $$12x^2 - 3x < 0$$
   $$x(12x - 3) < 0$$
   Решением будет интервал $$0 < x < \frac{1}{4}$$.
3. $$y = \sqrt{x^2 - 4x - 21} - \frac{6}{x^2 - 64}$$
   Нужно решить систему неравенств:
   $$x^2 - 4x - 21 \ge 0$$
   $$x^2 - 64
   e 0$$
   Найдем корни уравнения $$x^2 - 4x - 21 = 0$$
   $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$
   $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$
   $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$
   Неравенство можно переписать в виде $$(x - 7)(x + 3) \ge 0$$
   Решением будет множество $$x \le -3 \cup x \ge 7$$.
   $$x^2 - 64
   e 0$$
   $$(x - 8)(x + 8)
   e 0$$
   $$x
   e 8, x
   e -8$$
   Область определения: $$x \in (-\infty, -8) \cup (-8, -3] \cup [7, 8) \cup (8, +\infty)$$.
4. $$y = \frac{x - 8}{\sqrt{5 + 19x - 4x^2}} + \frac{x - 4}{3x^2 - x - 4}$$
   Нужно решить систему: $$5 + 19x - 4x^2 > 0$$
   $$3x^2 - x - 4
   e 0$$
   $$-4x^2 + 19x + 5 > 0$$
   $$4x^2 - 19x - 5 < 0$$
   Найдем корни уравнения $$4x^2 - 19x - 5 = 0$$
   $$D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441$$
   $$x_1 = \frac{19 + \sqrt{441}}{2 \cdot 4} = \frac{19 + 21}{8} = \frac{40}{8} = 5$$
   $$x_2 = \frac{19 - \sqrt{441}}{2 \cdot 4} = \frac{19 - 21}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$
   Неравенство можно переписать в виде $$4(x - 5)(x + \frac{1}{4}) < 0$$
   Решением будет интервал $$- \frac{1}{4} < x < 5$$.
   $$3x^2 - x - 4
   e 0$$
   Найдем корни уравнения $$3x^2 - x - 4 = 0$$
   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$$
   $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$
   $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$
   $$x
   e -1, x
   e \frac{4}{3}$$
   Область определения: $$x \in (- \frac{1}{4}, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 5)$$.

Ответ: 1) $$x \le -8 \cup x \ge 5$$; 2) $$0 < x < \frac{1}{4}$$; 3) $$x \in (-\infty, -8) \cup (-8, -3] \cup [7, 8) \cup (8, +\infty)$$; 4) $$x \in (- \frac{1}{4}, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 5)$$.