113. Решите неравенство: 1) х²-5х-36 < 0; 2) x²+7x-30 ≥ 0; 3)-x² + 4,6x – 2,4 < 0; 4)-3x2+4x+ 4 > 0; 5) 4x²-16x ≤ 0; 6) 9x²-25 > 0; 7) 4x²-12x+9 > 0; 8) x²-14x +49 ≥ 0; 9) 5x²-2x+1 > 0; 10) 64x²-16x + 1 ≤ 0; 11) 9x² + 30x + 25 < 0; 12) 2x²-5x+4≤0.

Решим данные квадратные неравенства:

1) $$x^2-5x-36 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2-5x-36 = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1+x_2 = 5$$

$$x_1 \cdot x_2 = -36$$.

Корни уравнения: $$x_1 = -4$$, $$x_2 = 9$$.

Решением неравенства является интервал $$(-4; 9)$$.

2) $$x^2+7x-30 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2+7x-30 = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1+x_2 = -7$$

$$x_1 \cdot x_2 = -30$$.

Корни уравнения: $$x_1 = -10$$, $$x_2 = 3$$.

Решением неравенства являются интервалы $$(-\infty; -10]$$ и $$[3; +\infty)$$.

3) $$-x^2 + 4,6x – 2,4 < 0$$

Умножим неравенство на -1:

$$x^2 - 4,6x + 2,4 > 0$$.

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 4,6x + 2,4 = 0$$.

$$D = (-4,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,4 = 21,16 - 9,6 = 11,56$$

$$x_1 = \frac{4,6 + \sqrt{11,56}}{2} = \frac{4,6 + 3,4}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{4,6 - \sqrt{11,56}}{2} = \frac{4,6 - 3,4}{2} = 0,6$$

Решением неравенства являются интервалы $$(-\infty; 0,6)$$ и $$(4; +\infty)$$.

4) $$-3x^2+4x+ 4 > 0$$

Умножим неравенство на -1:

$$3x^2 - 4x - 4 < 0$$.

Найдем корни квадратного уравнения $$3x^2 - 4x - 4 = 0$$.

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$

$$x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{4 + 8}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{2}{3}$$

Решением неравенства является интервал $$(- \frac{2}{3}; 2)$$.

5) $$4x^2-16x \le 0$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$4x(x-4) \le 0$$.

Найдем корни квадратного уравнения $$4x(x-4) = 0$$.

$$x_1 = 0$$, $$x_2 = 4$$.

Решением неравенства является интервал $$[0; 4]$$.

6) $$9x^2-25 > 0$$

Разложим на множители:

$$(3x-5)(3x+5) > 0$$.

Найдем корни квадратного уравнения $$(3x-5)(3x+5) = 0$$.

$$x_1 = -\frac{5}{3}$$, $$x_2 = \frac{5}{3}$$.

Решением неравенства являются интервалы $$(-\infty; -\frac{5}{3})$$ и $$(\frac{5}{3}; +\infty)$$.

7) $$4x^2-12x+9 > 0$$

Выделим полный квадрат:

$$(2x-3)^2 > 0$$.

Квадрат всегда больше нуля, кроме случая, когда он равен нулю, т.е.

$$2x-3 = 0$$

$$x = \frac{3}{2} = 1,5$$

Решением неравенства является $$x
e 1,5$$, т.е. интервалы $$(-\infty; 1,5)$$ и $$(1,5; +\infty)$$.

8) $$x^2-14x +49 \ge 0$$

Выделим полный квадрат:

$$(x-7)^2 \ge 0$$.

Квадрат всегда больше или равен нулю.

Решением неравенства является любое число, т.е. $$(-\infty; +\infty)$$.

9) $$5x^2-2x+1 > 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $$5x^2-2x+1 = 0$$.

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$$.

Т.к. дискриминант меньше нуля, то квадратный трехчлен всегда больше нуля.

Решением неравенства является любое число, т.е. $$(-\infty; +\infty)$$.

10) $$64x^2-16x + 1 \le 0$$

Выделим полный квадрат:

$$(8x-1)^2 \le 0$$.

Квадрат всегда больше или равен нулю, значит, равенство достигается только в случае:

$$8x-1 = 0$$

$$x = \frac{1}{8}$$

Решением неравенства является $$x = \frac{1}{8}$$.

11) $$9x^2 + 30x + 25 < 0$$

Выделим полный квадрат:

$$(3x+5)^2 < 0$$.

Т.к. квадрат всегда больше или равен нулю, то неравенство не имеет решений.

12) $$2x^2-5x+4 \le 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $$2x^2-5x+4 = 0$$.

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$$.

Т.к. дискриминант меньше нуля, то квадратный трехчлен всегда больше нуля, значит, неравенство не имеет решений.

Ответ: 1) $$(-4; 9)$$; 2) $$(-\infty; -10]$$ и $$[3; +\infty)$$; 3) $$(-\infty; 0,6)$$ и $$(4; +\infty)$$; 4) $$(- \frac{2}{3}; 2)$$; 5) $$[0; 4]$$; 6) $$(-\infty; -\frac{5}{3})$$ и $$(\frac{5}{3}; +\infty)$$; 7) $$(-\infty; 1,5)$$ и $$(1,5; +\infty)$$; 8) $$(-\infty; +\infty)$$; 9) $$(-\infty; +\infty)$$; 10) $$x = \frac{1}{8}$$; 11) нет решений; 12) нет решений.