12. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(A, D_1, A_1, B, C_1, B_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \(AB=5\), \(AD=6\), \(AA_1=4\).

Объем параллелепипеда \(V = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 5 \cdot 6 \cdot 4 = 120\). Многогранник, вершинами которого являются точки \(A, D_1, A_1, B, C_1, B_1\), получается из параллелепипеда отсечением двух треугольных пирамид: \(D_1 C_1 B_1 C\) и \(A_1 A D B\). Объем каждой пирамиды равен \(\frac{1}{6}\) объема параллелепипеда, так как в основании каждой пирамиды лежит половина площади основания параллелепипеда, а высота равна высоте параллелепипеда. То есть, объём \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD) \cdot AA_1 = \frac{1}{6} \cdot AB \cdot AD \cdot AA_1\). Тогда объём двух пирамид равен \(2 \cdot V_{\text{пирамиды}} = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4 = 40\). Объем многогранника равен разности объема параллелепипеда и объема двух пирамид: \(V_{\text{многогранника}} = V_{\text{параллелепипеда}} - 2 \cdot V_{\text{пирамиды}} = 120 - 40 = 80\). Ответ: 80