18. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $$14\sqrt{2}$$, а боковое ребро равно 50.

Основание правильной четырёхугольной пирамиды - квадрат. Площадь основания равна: $$S_{осн} = (14\sqrt{2})^2 = 14^2 cdot (\sqrt{2})^2 = 196 cdot 2 = 392$$ Чтобы найти объём, нужно знать высоту пирамиды. Высота опускается в центр основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной диагонали основания и боковым ребром. Диагональ квадрата равна $$d = a\sqrt{2}$$, где a - сторона квадрата. Тогда диагональ основания: $$d = 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 14 cdot 2 = 28$$ Половина диагонали равна $$r = \frac{d}{2} = \frac{28}{2} = 14$$ По теореме Пифагора: $$h^2 + r^2 = l^2$$, где $$h$$ - высота, $$r$$ - половина диагонали, $$l$$ - боковое ребро. $$h^2 = l^2 - r^2 = 50^2 - 14^2 = 2500 - 196 = 2304$$ $$h = \sqrt{2304} = 48$$ Объём пирамиды равен: $$V = \frac{1}{3} cdot S_{осн} cdot h = \frac{1}{3} cdot 392 cdot 48 = 392 cdot 16 = 6272$$ Ответ: Объём пирамиды равен 6272.