6. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 6, а радиус окружности, описанной около основания, равен 3.

6. Дано: правильная шестиугольная пирамида, боковое ребро равно 6, радиус окружности, описанной около основания, равен 3.

Найти: объем пирамиды.

Решение:

В правильной шестиугольной пирамиде основанием является правильный шестиугольник, который состоит из шести равносторонних треугольников, сторона которых равна радиусу описанной окружности.

Тогда площадь основания равна: $$S = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{4} = \frac{54 \sqrt{3}}{4} = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$$.

Найдем высоту пирамиды. Высота пирамиды, боковое ребро и радиус описанной окружности образуют прямоугольный треугольник.

Тогда по теореме Пифагора: $$h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$V = \frac{1}{3} S \cdot h$$, где V – объем пирамиды, S – площадь основания, h – высота пирамиды.

Подставим известные значения: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{27 \sqrt{3}}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{27 \cdot 3 \cdot 3}{2} = \frac{243}{6} = 40.5$$.

Ответ: 40.5