Найдите объём прямой призмы, если в её основании лежит равнобедренный треугольник со сторонами 17, 17 и 6, а площадь полной поверхности равна 338.

Для решения этой задачи нам потребуется найти объем прямой призмы, в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Нам известны стороны этого треугольника (17, 17 и 6) и площадь полной поверхности призмы (338). 1. Найдем площадь основания (равнобедренного треугольника): Можно воспользоваться формулой Герона для площади треугольника. Сначала найдем полупериметр $$p$$: $$p = (17 + 17 + 6) / 2 = 20$$ Теперь найдем площадь основания $$S_{осн}$$ по формуле Герона: $$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{20(20-17)(20-17)(20-6)} = \sqrt{20 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 14} = \sqrt{2520} = 6\sqrt{70}$$ Также, можно найти высоту треугольника, проведенную к основанию, и вычислить площадь через основание и высоту. Обозначим основание равнобедренного треугольника за $$a = 6$$, боковые стороны $$b = c = 17$$. Высота $$h$$, проведенная к основанию, разделит его пополам. Тогда по теореме Пифагора: $$h = \sqrt{17^2 - 3^2} = \sqrt{289 - 9} = \sqrt{280} = 2\sqrt{70}$$ Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{70} = 6\sqrt{70}$$ 2. Найдем площадь боковой поверхности: Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$$ $$S_{бок} = S_{полн} - 2S_{осн} = 338 - 2 \cdot 6\sqrt{70} = 338 - 12\sqrt{70}$$ 3. Найдем высоту призмы: Боковая поверхность призмы состоит из трех прямоугольников. В нашем случае, из двух одинаковых (со сторонами 17 и $$H$$) и одного (со сторонами 6 и $$H$$). Тогда площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 2 \cdot 17 \cdot H + 6 \cdot H = 34H + 6H = 40H$$ Приравниваем полученное выражение к найденной ранее площади боковой поверхности: $$40H = 338 - 12\sqrt{70}$$ $$H = \frac{338 - 12\sqrt{70}}{40} = \frac{169 - 6\sqrt{70}}{20}$$ 4. Найдем объем призмы: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: $$V = S_{осн} \cdot H = 6\sqrt{70} \cdot \frac{169 - 6\sqrt{70}}{20} = \frac{3\sqrt{70}(169 - 6\sqrt{70})}{10} = \frac{507\sqrt{70} - 1260}{10} = \frac{507\sqrt{70}}{10} - 126$$ $$V = \frac{507\sqrt{70}}{10} - 126$$ Ответ: Объем прямой призмы равен $$\frac{507\sqrt{70}}{10} - 126$$