Найдите площадь боковой поверхности прямой четырёхугольной призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, если известно, что в основании призмы лежит ромб с диагоналями 6 и 8, а диагональ боковой грани равна 13.

Для решения этой задачи нам потребуется найти площадь боковой поверхности прямой четырехугольной призмы, в основании которой лежит ромб. Нам известны диагонали ромба (6 и 8) и диагональ боковой грани (13). 1. Найдем сторону ромба: Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Таким образом, половинки диагоналей ромба (3 и 4) являются катетами прямоугольного треугольника, а сторона ромба - его гипотенузой. По теореме Пифагора найдем сторону ромба $$a$$: $$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 2. Найдем высоту призмы: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы ($$H$$), стороной основания ($$a=5$$) и диагональю боковой грани (13). По теореме Пифагора: $$H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ 3. Найдем площадь боковой поверхности призмы: Так как призма прямая, её боковые грани - прямоугольники. В основании ромб, значит, все стороны основания равны. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей четырех боковых граней, каждая из которых является прямоугольником со сторонами, равными стороне ромба и высоте призмы. Следовательно: $$S_{бок} = 4 \cdot a \cdot H = 4 \cdot 5 \cdot 12 = 240$$ Ответ: Площадь боковой поверхности прямой четырехугольной призмы равна 240.