Найдите основание равнобедренного треугольника, если п вписанной в него окружности делит высоту, проведён основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а сторона равна 60 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть высота, проведённая к основанию, равна BH. Пусть O - центр вписанной окружности, и окружность делит высоту BH в отношении 12:5, считая от вершины B. Сторона AB = BC = 60 см. Нужно найти длину основания AC.

Пусть BO = 12x и OH = 5x, где BH = BO + OH = 12x + 5x = 17x.

Так как O - центр вписанной окружности, OH - радиус вписанной окружности (r), поэтому r = 5x.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в котором AB = 60 см и BH = 17x. Пусть AH = y, тогда AC = 2y.

По теореме Пифагора, AB² = AH² + BH², то есть 60² = y² + (17x)².

60² = y² + 289x².

Также известен радиус вписанной окружности: r = (AB + BC + AC) / 2 , где S = (AB + BC + AC) / 2.

r = S / p, где p - полупериметр, S - площадь треугольника.

S = 0.5 * AC * BH = 0.5 * 2y * 17x = 17xy

p = (AB + BC + AC) / 2 = (60 + 60 + 2y) / 2 = 60 + y

r = S / p = 17xy / (60 + y)

Так как r = 5x, то 5x = 17xy / (60 + y)

5 = 17y / (60 + y)

300 + 5y = 17y

300 = 12y

y = 25

Тогда AC = 2y = 2 * 25 = 50 см.

Теперь найдем x: 60² = 25² + (17x)²

3600 = 625 + 289x²

2975 = 289x²

x² = 2975 / 289

x ≈ 3.21

Ответ: Основание равно 50 см.