690 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Решение: 1. Обозначим равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$. Пусть $$BH$$ - высота, проведённая к основанию $$AC$$, и $$O$$ - центр вписанной окружности. По условию, $$BO:OH = 12:5$$. Пусть $$BO = 12x$$ и $$OH = 5x$$. Тогда $$BH = BO + OH = 12x + 5x = 17x$$. 2. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем $$AB = 60$$ см (боковая сторона), $$AH = \frac{AC}{2}$$ (половина основания). Нужно найти $$AC$$. 3. Так как $$O$$ - центр вписанной окружности, $$OH$$ - радиус вписанной окружности, т.е. $$r = 5x$$. 4. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ выразим $$AH$$ через $$BH$$ и $$AB$$ по теореме Пифагора: $$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{60^2 - (17x)^2} = \sqrt{3600 - 289x^2}$$. 5. Площадь треугольника $$ABC$$ можно найти двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$ и $$S = p \cdot r$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника. Полупериметр $$p = \frac{2 \cdot AB + AC}{2} = \frac{2 \cdot 60 + AC}{2} = 60 + \frac{AC}{2}$$. 6. Приравняем выражения для площади: $$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot 17x = (60 + \frac{AC}{2}) \cdot 5x$$. Упростим уравнение: $$17 \cdot AC = (120 + AC) \cdot 5$$, $$17AC = 600 + 5AC$$, $$12AC = 600$$, $$AC = 50$$ см. Ответ: Основание равнобедренного треугольника равно 50 см. Развернутый ответ: Для решения задачи мы использовали отношение, в котором центр вписанной окружности делит высоту треугольника, и теорему Пифагора. Важно было выразить площадь треугольника двумя разными способами и приравнять их, чтобы найти неизвестное основание.