Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 4 см и 6 см, считая от основания. Найдите периметр.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Окружность вписана в этот треугольник. Точка касания на боковой стороне (например, на AC) делит её на отрезки, считая от основания (вершины C).

Пусть точка касания на AC — D. По условию, CD = 4 см и DA = 6 см. Тогда вся боковая сторона AC = CD + DA = 4 + 6 = 10 см.

Так как треугольник равнобедренный, то AB = BC. Обозначим точку касания на BC как F и на AB как G.

По свойству касательных, проведенных из одной точки:

• Из вершины C: CD = CF = 4 см.
• Из вершины A: AD = AG = 6 см.
• Из вершины B: BG = BF.

Мы знаем, что AC = 10 см. Так как треугольник равнобедренный, то BC = AC = 10 см.

Теперь найдем отрезок BF (или BG):

\[ BF = BC - CF = 10 - 4 = 6 \]

Значит, BG = 6 см.

Теперь найдем длины всех сторон треугольника:

• AC = 10 см
• BC = 10 см
• AB = AG + GB = 6 + 6 = 12 см

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

\[ P = AB + BC + AC = 12 + 10 + 10 = 32 \]

Ответ: 32 см.