591 Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Решение: 1. Пусть $$ABC$$ - равнобедренный треугольник ($$AB = BC$$), а $$D$$ - точка касания вписанной окружности со стороной $$BC$$. Тогда $$BD = 4$$ см и $$DC = 3$$ см, следовательно, $$BC = BD + DC = 4 + 3 = 7$$ см. Так как $$AB = BC$$, то $$AB = 7$$ см. 2. Пусть $$E$$ - точка касания окружности со стороной $$AC$$, а $$F$$ - точка касания со стороной $$AB$$. Тогда $$AF = BD = 4$$ см (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). Следовательно, $$BF = AB - AF = 7 - 4 = 3$$ см. Тогда $$CE = CD = 3$$ см (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). 3. Теперь найдем сторону $$AC$$: $$AC = AE + EC$$. Так как $$AE = AF = 4$$ см и $$EC = DC = 3$$ см, то $$AC = 4 + 3 = 7$$ см. 4. Тогда периметр $$P$$ треугольника $$ABC$$ равен $$P = AB + BC + AC = 7 + 7 + 7 = 21$$ см. Ответ: Периметр треугольника равен 21 см. Развернутый ответ: В этой задаче мы использовали свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных равны. Это позволило нам найти все стороны треугольника и вычислить его периметр.