Найдите отрезки касательных AB и AC, проведённых из точки A к окружности радиуса r, если r = 9 см, ∠BAC = 120°.

Решение: 1. Поскольку AB и AC - касательные к окружности, то радиусы, проведенные в точки касания (назовём их точками B и C), перпендикулярны касательным. Таким образом, углы между радиусами и касательными равны 90°. 2. Рассмотрим четырехугольник ABOC, где O - центр окружности. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, ∠BOC = 360° - ∠OBA - ∠OCA - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°. 3. Треугольники ABO и ACO равны (по катету и гипотенузе, т.к. AO - общая, OB = OC = r, и углы ABO и ACO прямые). Тогда углы BAO и CAO равны и составляют половину угла BAC. Значит, ∠BAO = ∠CAO = 120° / 2 = 60°. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. В нем ∠BAO = 60°, ∠ABO = 90°. Тогда ∠AOB = 30°. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, AO = 2 * OB = 2 * r = 2 * 9 = 18 см. 5. По теореме Пифагора найдем длину AB: $$AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}$$ см. 6. Поскольку треугольники ABO и ACO равны, то AB = AC = $$9\sqrt{3}$$ см. Ответ: Отрезки касательных AB и AC равны $$9\sqrt{3}$$ см.