В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром C и радиусом, равным AD.

Доказательство: 1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Так как BD - медиана, проведенная к основанию AC, то BD является также высотой и биссектрисой треугольника ABC. Следовательно, BD перпендикулярна AC. 2. Поскольку AD = DC (BD - медиана), то AD - радиус окружности с центром в точке C. 3. Необходимо доказать, что BD является касательной к окружности с центром в C и радиусом AD. Для этого нужно показать, что BD перпендикулярна радиусу DC в точке D. 4. Так как BD - высота треугольника ABC, то BD перпендикулярна AC. Следовательно, BD перпендикулярна DC. 5. Поскольку BD перпендикулярна радиусу DC в точке D, то прямая BD является касательной к окружности с центром C и радиусом AD. Что и требовалось доказать.