41 Найдите периметр треугольника MNP, если M (4; 0), N (12; -2), P (5; −9).

Периметр треугольника MNP равен сумме длин его сторон: MN + NP + MP.

Найдем длины сторон треугольника:

$$MN = \sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2} = \sqrt{(12-4)^2+(-2-0)^2} = \sqrt{8^2+(-2)^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$ $$NP = \sqrt{(x_P-x_N)^2+(y_P-y_N)^2} = \sqrt{(5-12)^2+(-9-(-2))^2} = \sqrt{(-7)^2+(-7)^2} = \sqrt{49+49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$$ $$MP = \sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2} = \sqrt{(5-4)^2+(-9-0)^2} = \sqrt{1^2+(-9)^2} = \sqrt{1+81} = \sqrt{82}$$

Периметр треугольника MNP:

$$P = MN + NP + MP = 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$$

Ответ: $$2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$$.