1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-3x², y=0, x=1ux=2.

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $$y = -3x^2, y = 0, x = 1$$ и $$x = 2$$.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y = f(x)$$, осью OX и прямыми $$x = a$$ и $$x = b$$, вычисляется по формуле:

$$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$$

В нашем случае $$f(x) = -3x^2$$, $$a = 1$$, $$b = 2$$. Поскольку $$-3x^2 \leq 0$$ на $$[1, 2]$$, то $$|-3x^2| = 3x^2$$.

Тогда

$$S = \int_{1}^{2} 3x^2 dx = 3 \int_{1}^{2} x^2 dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = 3 (\frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3}) = 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7$$

Ответ: 7