Найдите площадь правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

Пусть $$r$$ - радиус вписанной окружности, а $$a$$ - сторона правильного треугольника. Известно, что $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$. Выразим $$a$$ через $$r$$: $$a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6r\sqrt{3}}{3} = 2r\sqrt{3}$$. По условию, $$r = 4$$ см, тогда $$a = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$ см. Площадь правильного треугольника равна $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. Подставим значение $$a = 8\sqrt{3}$$: $$S = \frac{(8\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{192\sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}$$ см$$^2$$. Ответ: $$48\sqrt{3}$$ см$$^2$$