1112 Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O, и угол между диагоналями ∠AOB = 30°. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть диагональ AC = BD = d = 10 см. Тогда AO = BO = d/2 = 5 см. Площадь прямоугольника можно найти, как удвоенную площадь треугольника AOB, умноженную на 2, так как два таких треугольника составляют половину прямоугольника. Площадь треугольника AOB можно найти по формуле: $$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB)$$ $$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(30^\circ)$$ $$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{1}{2}$$ $$S_{\triangle AOB} = \frac{25}{4} = 6.25 \text{ см}^2$$ Площадь прямоугольника ABCD равна удвоенной площади треугольника AOB, умноженной на 2, то есть: $$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{\triangle AOB} = 4 \cdot 6.25 = 25 \text{ см}^2$$ Ответ: 25 см².