Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 8 см и 12 см, а боковая сторона – 10 см.

Пусть $$a = 8$$ см и $$b = 12$$ см - основания трапеции, а $$c = 10$$ см - боковая сторона.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Обозначим основания высот на большем основании за H1 и H2. Тогда отрезок между основаниями высот равен меньшему основанию, т.е. H1H2 = a = 8 см.

Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, оставшиеся по краям большего основания, равны между собой и равны $$\frac{b - a}{2} = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и одним из этих отрезков. Высоту $$h$$ найдем по теореме Пифагора:

$$h = \sqrt{c^2 - (\frac{b - a}{2})^2} = \sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$$

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{8 + 12}{2} \cdot 4\sqrt{6} = \frac{20}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 10 \cdot 4\sqrt{6} = 40\sqrt{6}$$

Ответ: Площадь трапеции равна $$40\sqrt{6}$$ см².