39. Найдите площадь равностороннего треугольника, изображённого на рисунке. В ответе запишите площадь, умноженную на $$\sqrt{3}$$.

На рисунке изображен равносторонний треугольник, в котором проведена высота, равная 4. Поскольку треугольник равносторонний, высота также является медианой и биссектрисой. Обозначим половину основания за $$x$$, а всю сторону треугольника за $$2x$$. По теореме Пифагора, для половины треугольника имеем: $$x^2 + 4^2 = (2x)^2$$ $$x^2 + 16 = 4x^2$$ $$3x^2 = 16$$ $$x^2 = \frac{16}{3}$$ $$x = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ Тогда сторона треугольника $$a = 2x = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$. Площадь равностороннего треугольника $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{8\sqrt{3}}{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{64 \cdot 3}{9} \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{64}{3} \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{12} = \frac{16 \sqrt{3}}{3}$$. Нам нужно найти площадь, умноженную на $$\sqrt{3}$$: $$\frac{16 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{16 \cdot 3}{3} = 16$$. Ответ: 16