5. Найдите площадь сечения куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскостью, проходящей через ребро $$AB$$ и середину ребра $$B_1C_1$$, если ребро куба равно 8 см.

Пусть $$E$$ - середина ребра $$B_1C_1$$. Сечение куба плоскостью, проходящей через ребро $$AB$$ и точку $$E$$, представляет собой трапецию $$ABGE$$, где точка $$G$$ лежит на ребре $$C C_1$$. Поскольку $$E$$ - середина $$B_1C_1$$, то $$B_1E = EC_1 = 4$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$B_1EC_1$$. Поскольку плоскость сечения проходит через $$AB$$ и $$E$$, то $$GE \parallel AB$$ и $$GE = \frac{1}{2}CC_1 = 4$$ см. Тогда $$ABGE$$ - равнобокая трапеция с основаниями $$AB = 8$$ см и $$GE = 4$$ см. Высота трапеции равна ребру куба, то есть 8 см. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{AB + GE}{2} * BB_1 = \frac{8 + 4}{2} * 8 = \frac{12}{2} * 8 = 6 * 8 = 48$$ см². Ответ: Площадь сечения равна 48 см².