4. В правильной четырехугольной пирамиде площадь основания равна 16см², а высота 3см. Найдите площадь поверхности.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания дана: $$S_{осн} = 16$$ см². Так как пирамида правильная четырехугольная, то в основании лежит квадрат, а значит, сторона основания $$a = \sqrt{16} = 4$$ см. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней. В правильной четырехугольной пирамиде 4 одинаковых боковых грани - равнобедренные треугольники. Чтобы найти площадь боковой грани, нужно знать апофему (высоту боковой грани). Обозначим апофему за $$m$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. По теореме Пифагора: $$m^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$$ $$m^2 = 3^2 + (\frac{4}{2})^2 = 9 + 4 = 13$$ $$m = \sqrt{13}$$ см. Площадь боковой грани: $$S_{бок.грани} = \frac{1}{2} * a * m = \frac{1}{2} * 4 * \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$$ см². Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 4 * S_{бок.грани} = 4 * 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}$$ см². Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 16 + 8\sqrt{13}$$ см². Ответ: Площадь поверхности равна $$16 + 8\sqrt{13}$$ см².