593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ=10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D = = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, ВС = 9√2 см.

а) АВ=10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см

Трапеция ABCD - равнобедренная (BC = DA). Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h$$

Где h - высота трапеции. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Получим точки H и K соответственно. Тогда KH = AB = 10 см, и DH = KC.

Так как CD = 20 см, то DH + KC = 20 - 10 = 10 см, и DH = KC = 5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. По теореме Пифагора найдем высоту h:

$$h = \sqrt{AD^2 - DH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Высота трапеции равна 12 см.

Теперь найдем площадь трапеции:

$$S = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$$

Площадь трапеции равна 180 см².

б) ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см

Трапеция ABCD - равнобокая. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Получим точки H и K соответственно. KH = AB = 8 см. DH = KC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В этом треугольнике ∠BCH = 60°. Так как BC = 8 см, то

$$CH = BC \cdot cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$ $$BH = BC \cdot sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

DH = KC = 4. CD = AB + DH + KC = 8 + 4 + 4 = 16

Высота h = 4√3

Площадь трапеции:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$$

Площадь трапеции равна 48√3 см².

в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, ВС = 9√2 см

Трапеция ABCD - равнобедренная. Опустим высоты из вершин B и A на основание CD. Получим точки H и K соответственно. KH = AB = 6 см, DH = KC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В этом треугольнике ∠BCH = 45°. Так как BC = 9√2 см, то

$$BH = BC \cdot sin(45°) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9$$ $$CH = BC \cdot cos(45°) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9$$

DH = KC = 9. CD = AB + DH + KC = 6 + 9 + 9 = 24

Площадь трапеции:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135$$

Площадь трапеции равна 135 см².

Ответ: a) 180 см²; б) 48√3 см²; в) 135 см²