593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и СД, если: а) АВ = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C= ∠D= = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C=∠D = 45°, AB = 6 см, ВС = 9/2 см.

a) Дано: AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см. Найти: S.

1. Проведём высоты BH и AK. Тогда HK = AB = 10 см, CH = KD = (CD - HK) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. По теореме Пифагора:

$$BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

Ответ: 180 см²

---

б) Дано: ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см. Найти: S.

1. Проведём высоту BH. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. В нём ∠BCH = 60°, следовательно, ∠CBH = 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

$$CH = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$$

2. По теореме Пифагора:

$$BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$

3. Рассмотрим четырёхугольник ABCH. ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 60°, следовательно, ∠B = 120°.

4. Проведём высоту AK. Тогда DK = CH = 4 см. CD = AB + 2 * CH = 8 + 2 * 4 = 16 см.

5. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: $$48\sqrt{3} \text{ см}^2$$

---

в) Дано: ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = $$9\sqrt{2}$$ см. Найти: S.

1. Проведём высоту BH. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. В нём ∠BCH = 45°, следовательно, треугольник BCH равнобедренный, BH = CH. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BH^2 + CH^2 = 2BH^2$$ $$BH = \sqrt{\frac{BC^2}{2}} = \sqrt{\frac{(9\sqrt{2})^2}{2}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 2}{2}} = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$$

2. Проведём высоту AK. Тогда DK = CH = 9 см. CD = AB + 2 * CH = 6 + 2 * 9 = 24 см.

3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2$$

Ответ: 135 см²