Найдите площадь трапеции с основаниями 30 и 10 и боковыми сторонами 13 и 19.

Опустим высоты из концов меньшего основания. Горизонтальные проекции боковых сторон в сумме равны разности оснований: \(30-10=20\). Обозначим проекцию стороны 13 через \(x\), тогда проекция стороны 19 равна \(20-x\), а высота трапеции — \(h\).

По теореме Пифагора: \(x^2+h^2=13^2\), \((20-x)^2+h^2=19^2\).

Вычтем первое уравнение из второго: \((20-x)^2-x^2=19^2-13^2\), откуда \(400-40x=192\) и \(x=\frac{26}{5}\).

Тогда \(h^2=13^2-\left(\frac{26}{5}\right)^2=\frac{3549}{25}\), поэтому \(h=\frac{13\sqrt{21}}{5}\).

Площадь трапеции: \(S=\frac{30+10}{2}\cdot h=20\cdot\frac{13\sqrt{21}}{5}=52\sqrt{21}\).

Ответ: \(52\sqrt{21}\) кв. ед.