4*. Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВС = 4, ∠BAC = 30°, О – центр окружности (рис. 12.55).

4. Дано: $$BC = 4$$, $$\angle BAC = 30^\circ$$, $$O$$ - центр окружности.

Найти: площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

1. $$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$.


2. $$\triangle BOC$$ - равнобедренный (т.к. $$OB = OC = R$$), а т.к. один из углов равен $$60^\circ$$, то он равносторонний. Следовательно, $$OB = OC = BC = 4$$.


3. Площадь сектора $$
   S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{16\pi}{6} = \frac{8\pi}{3}$$.


4. Площадь треугольника $$
   S_{\triangle} = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$.


5. Площадь заштрихованной фигуры:
   $$S = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3} \approx \frac{8 \cdot 3.14}{3} - 4 \cdot 1.73 = 8.37 - 6.92 = 1.45$$.

Ответ: $$\frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3} \approx 1.45$$.