Найдите последовательно значение каждой из разностей: $$\frac{1}{1 \cdot 2}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 8}$$ а затем значение суммы $$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56}$$

Разности:

• $$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$
• $$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$
• $$\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$$
• $$\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$$
• $$\frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30}$$
• $$\frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42}$$
• $$\frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{56}$$

Сумма:

Заметим, что $$\frac{1}{6} = \frac{1}{2\cdot 3}$$, $$\frac{1}{12} = \frac{1}{3\cdot 4}$$, $$\frac{1}{20} = \frac{1}{4\cdot 5}$$, $$\frac{1}{30} = \frac{1}{5\cdot 6}$$, $$\frac{1}{42} = \frac{1}{6\cdot 7}$$, $$\frac{1}{56} = \frac{1}{7\cdot 8}$$

Тогда исходное выражение равно $$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 6} + \frac{1}{6\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 8}$$

Заметим, что $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$. Тогда:

$$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 6} + \frac{1}{6\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 8} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

Ответ: $$\frac{7}{8}$$