1. Найдите предел числовой последовательности: 1) lim n→∞ n² + 4 ; 3) lim(√n+2 - √n); n→∞ 2. Вычислите предел: 1) lim-1 x1 x2 + x 3) lim sin x x→0 3x

1. Найдите предел числовой последовательности:

1) $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 4} $$.

Разделим числитель и знаменатель на $$n^2$$:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}}{1 + \frac{4}{n^2}} = \frac{0}{1 + 0} = 0 $$.

3) $$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) $$.

Умножим и разделим на сопряженное выражение $$ \sqrt{n+2} + \sqrt{n} $$:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2 - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $$.

Разделим числитель и знаменатель на $$\sqrt{n}$$:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{\sqrt{n}}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} = \frac{0}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{0}{2} = 0 $$.

2. Вычислите предел:

1) $$ \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2 + x} $$.

Подставим $$ x=1 $$ в выражение:

$$ \frac{1-1}{1^2 + 1} = \frac{0}{2} = 0 $$.

3) $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x} $$.

Умножим и разделим на $$ x $$:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $$.

Ответ: 1) 0; 3) 0; 1) 0; 3) 1/3