267. Найдите, при каких значениях х трёхчлен: a) 2x² + 5x + 3 принимает положительные значения; б) -x2 - 1/3x - 1/36 принимает отрицательные значения.

a) 2x² + 5x + 3 принимает положительные значения

Решим квадратное уравнение 2x² + 5x + 3 = 0:

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$$

Так как коэффициент при x² положительный (2 > 0), парабола направлена вверх. 2x² + 5x + 3 > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x < -1.5$$ или $$x > -1$$

б) -x² - 1/3x - 1/36 принимает отрицательные значения

Решим квадратное уравнение -x² - 1/3x - 1/36 = 0:

$$D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot \left(-\frac{1}{36}\right) = \frac{1}{9} - \frac{4}{36} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$$

$$x = \frac{-b}{2a} = \frac{\frac{1}{3}}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{6}$$

Так как коэффициент при x² отрицательный (-1 < 0), парабола направлена вниз. Неравенство -x² - 1/3x - 1/36 < 0 выполняется везде, кроме точки, где уравнение равно нулю.

Ответ: $$x
e -\frac{1}{6}$$