269. Решите неравенство: a) 0,01x² ≤ 1; б) 1/2 x² > 12; в) 4x ≤ -x²; г) 1/3 x² > 1/9; д) 5х² > 2x; e) -0,3x < 0,6x².

a) 0,01x² ≤ 1

Решим неравенство 0,01x² ≤ 1:

$$0.01x^2 - 1 \le 0$$

$$x^2 - 100 \le 0$$

Решим квадратное уравнение x² - 100 = 0:

$$x = \pm 10$$

Так как коэффициент при x² положительный (1 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство x² - 100 ≤ 0 выполняется между корнями, включая корни.

Ответ: $$-10 \le x \le 10$$

б) 1/2 x² > 12

Решим неравенство $$\frac{1}{2}x^2 > 12$$:

$$\frac{1}{2}x^2 - 12 > 0$$

$$x^2 - 24 > 0$$

Решим квадратное уравнение x² - 24 = 0:

$$x = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$$

Так как коэффициент при x² положительный (1 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство x² - 24 > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x < -2\sqrt{6}$$ или $$x > 2\sqrt{6}$$

в) 4x ≤ -x²

Решим неравенство 4x ≤ -x²:

$$x^2 + 4x \le 0$$

$$x(x + 4) \le 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$$

Так как коэффициент при x² положительный (1 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство x(x + 4) ≤ 0 выполняется между корнями, включая корни.

Ответ: $$-4 \le x \le 0$$

г) 1/3 x² > 1/9

Решим неравенство $$\frac{1}{3} x^2 > \frac{1}{9}$$:

$$\frac{1}{3} x^2 - \frac{1}{9} > 0$$

$$x^2 - \frac{1}{3} > 0$$

Решим квадратное уравнение x² - 1/3 = 0:

$$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Так как коэффициент при x² положительный (1 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство x² - 1/3 > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ или $$x > \frac{\sqrt{3}}{3}$$

д) 5x² > 2x

Решим неравенство 5x² > 2x:

$$5x^2 - 2x > 0$$

$$x(5x - 2) > 0$$

$$x_1 = 0$$

$$5x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{5}$$

Так как коэффициент при x² положительный (5 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство x(5x - 2) > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x < 0$$ или $$x > \frac{2}{5}$$

e) -0,3x < 0,6x²

Решим неравенство -0.3x < 0.6x²:

$$0.6x^2 + 0.3x > 0$$

$$0.3x(2x + 1) > 0$$

$$x(2x + 1) > 0$$

$$x_1 = 0$$

$$2x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2}$$

Так как коэффициент при x² положительный, то парабола направлена вверх. Неравенство x(2x + 1) > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x < -0.5$$ или $$x > 0$$