266. Решите неравенство: a) 2x² + 13x - 7 > 0; б) -9x² + 12x - 4 < 0; в) 6x2 – 13x + 5 ≤ 0; г) -2x2 – 5x + 18 ≤ 0; д) 3х2 – 2x > 0; e) 8 - x² < 0.

a) 2x² + 13x - 7 > 0

Решим квадратное уравнение 2x² + 13x - 7 = 0:

$$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$$

Так как коэффициент при x² положительный (2 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство 2x² + 13x - 7 > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x < -7$$ или $$x > 0.5$$

Ответ: $$\left(-\infty; -7\right) \cup \left(0.5; +\infty\right)$$

б) -9x² + 12x - 4 < 0

Решим квадратное уравнение -9x² + 12x - 4 = 0:

$$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-4) = 144 - 144 = 0$$

$$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2 \cdot (-9)} = \frac{-12}{-18} = \frac{2}{3}$$

Так как коэффициент при x² отрицательный (-9 < 0), парабола направлена вниз. Неравенство -9x² + 12x - 4 < 0 выполняется везде, кроме точки, где уравнение равно нулю.

Ответ: $$x
e \frac{2}{3}$$

в) 6x² - 13x + 5 ≤ 0

Решим квадратное уравнение 6x² - 13x + 5 = 0:

$$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Так как коэффициент при x² положительный (6 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство 6x² - 13x + 5 ≤ 0 выполняется между корнями, включая корни.

Ответ: $$\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{3}$$

г) -2x² - 5x + 18 ≤ 0

Решим квадратное уравнение -2x² - 5x + 18 = 0:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 18 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot (-2)} = \frac{18}{-4} = -4.5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$$

Так как коэффициент при x² отрицательный (-2 < 0), парабола направлена вниз. Неравенство -2x² - 5x + 18 ≤ 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x \le -4.5$$ или $$x \ge 2$$

д) 3x² - 2x > 0

Решим неравенство 3x² - 2x > 0:

$$x(3x - 2) > 0$$

$$x_1 = 0$$

$$3x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{3}$$

Так как коэффициент при x² положительный (3 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство 3x² - 2x > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x < 0$$ или $$x > \frac{2}{3}$$

e) 8 - x² < 0

Решим неравенство 8 - x² < 0:

$$x² - 8 > 0$$

Решим квадратное уравнение x² - 8 = 0:

$$x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$$

Так как коэффициент при x² положительный (1 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство x² - 8 > 0 выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $$x < -2\sqrt{2}$$ или $$x > 2\sqrt{2}$$