Найдите произведение дробей и сократите получившуюся дробь: \[\frac{x^2 + 5xy - 2x - 10y}{x^2 - 2x} \cdot \frac{3xy}{x + 5y}\]

Ответ: \(\frac{3xy}{x-2}\)

Разбираемся:

Чтобы решить данное выражение, нужно выполнить умножение дробей и упростить получившееся выражение. Поехали!

Шаг 1: Группируем слагаемые в числителе первой дроби:

\[x^2 + 5xy - 2x - 10y = (x^2 + 5xy) - (2x + 10y)\]

Шаг 2: Выносим общие множители из каждой группы:

\[x(x + 5y) - 2(x + 5y)\]

Шаг 3: Выносим общий множитель \((x + 5y)\):

\[(x - 2)(x + 5y)\]

Шаг 4: Раскладываем знаменатель первой дроби, вынося x за скобки:

\[x^2 - 2x = x(x - 2)\]

Шаг 5: Записываем произведение дробей с учетом разложения на множители:

\[\frac{(x - 2)(x + 5y)}{x(x - 2)} \cdot \frac{3xy}{x + 5y}\]

Шаг 6: Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе:

Сокращаем \((x - 2)\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{(x + 5y)}{x} \cdot \frac{3xy}{x + 5y}\]

Сокращаем \((x + 5y)\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{1}{x} \cdot 3xy\]

Сокращаем \(x\) в числителе и знаменателе:

\[3y\]

Шаг 7: Записываем упрощенное выражение:

\[3y \cdot \frac{x}{x-2} = \frac{3xy}{x-2}\]

Ответ: \(\frac{3xy}{x-2}\)